Im folgenden werden einige Beispiele aufgezeigt, wie in
einer Montessori-Schule mit Hilfe des Montessori-Materials die geforderten Lerninhalte vermittelt werden. Die genannten Beispiele geben einen ersten Einblick in die Arbeit mit dem Montessori-Material, können aber eine vollständige Beschreibung nicht ersetzen. Soweit möglich wird ein Bezug zum Rahmenplan hergestellt.

Mathematik

Die Entwicklung des Zahlenbegriffs

Numerische Stangen
Ziffernbrettchen 1-10
Sandpapierziffern 0-9
Spindelkästen
Ziffern und Chips
Bunte Perlenstangen
Goldene Zehnerstangen
Seguin-Tafel I
Seguin-Tafel II
Streifenbretter
Goldenes Perlenmaterial
Bunte Perlenketten
Kleines Multiplikationsbrett
Divisionsbrett
Markenspiel
Kleiner Rechenrahmen

Geometrie

Geometrische Körper
Geometrische Kommode
Konstruktive Dreiecke
Metallene Quadrate

Mathematik

Im Folgenden wird aufgeführt, wie die Kinder in der Montessorischule Rechnen lernen. Der Erwerb des Zahlenraums bis 10.000 und die Geometrie wird dabei ausführlich beschrieben.

Es gibt keine Mathematikbücher (dennoch Arbeitsblätter und schriftliche Unterlagen), sondern die von Montessori entwickelten Materialien. Die meisten Materialien sind für die Einzelarbeit gedacht, da jedes Kind mathematische Einsichten nur individuell gewinnen kann.

Nach dem Prinzip der Isolierung von Schwierigkeiten gibt es für jeden Lernschritt ein eigenes Material. Selbsttätig und selbständig gewinnen die Kinder im hantierenden Umgang mathematische Erfahrungen und Einsichten und führen Rechenoperationen durch.

Die Arbeit mit dem Material findet in der Regel während der Freien Arbeit statt. Der Fachunterricht ergänzt die Freie Arbeit. Er soll Bereiche abdecken, die in der Freien Arbeit nicht oder nicht so gut erarbeitet werden können (Sachrechnen, Umgang mit Zeichengerät), weil sie gemeinsames Lernen und Arbeiten erfordern. Grundlage zur Vorbereitung der Lehrkraft sind für diese Phasen im Land Hessen zugelassene Schulbücher.

Die Mathematik-Fachstunde ist oft auch eine reine Übungsstunde, bietet Gelegenheit zum Kopfrechnen oder es können verschiedene Lösungswege zu offenen Aufgabenstellungen besprochen und gegenseitig abgewogen werden (vgl. Rahmenplan S.146 2. Absatz).

Für den Erwerb des Zahlenraumes bis 10.000 gibt es keine zeitliche Begrenzung durch Schuljahre, es ist eher so, dass den Kindern gleich ein größerer Zahlenraum angeboten wird (Lernen von der Ganzheit her). Jedes Kind bestimmt selbst, in welchem Zeitraum es diesen Weg durchläuft.

Der Lehrkraft kommt die Aufgabe zu, die Entwicklungsschritte des Kindes zu beobachten und ihm durch die Einführungen neuer Materialien einen weiteren Schritt zu ermöglichen.

Dabei löst sich das Kind immer mehr vom konkreten Tun, um zum abstrakten Denken zu finden. Diesen Schritt kann es aber erst dann vollziehen, wenn im praktischen Tun vollkommene Klarheit herrscht (vgl. Rahmenplan S.144 letzter Absatz).

Alle Kinder kommen mit unterschiedlichen Vorkenntnissen über Zahlen in die Schule. Das Montessori-Material berücksichtigt diese Vorkenntnisse, indem die Kinder das für sie geeignete Material bearbeiten können.

Für das mathematische Verständnis sind das Wahrnehmungs- und Vorstellungsvermögen von besonderer Bedeutung (vgl. Rahmenplan S.144 erster Abschnitt und S.147 Ziele). Das von Montessori erarbeitete Entwicklungsmaterial fördert dies besonders intensiv (vgl. auch 5.3.4), da alle Materialien keine Verbrauchsmaterialien sind, sondern immer wieder in die ursprüngliche Ausgangsposition zurückgebracht werden können (reversibles Denken und die Entwicklung von operativen (verinnerlichten) Handlungen nach Piaget haben darin ihren Ausgangspunkt).

Die Kinder können unterschiedliche Ordnungsvarianten herstellen, Teile zusammenfassen oder ein Ganzes zerlegen, Muster legen, Größen erfassen (vgl. Rahmenplanung S.144 ff). Die Sinnesmaterialien sind ebenso wie im Montessori-Kindergarten auch in der Schule vorhanden und können in der Anfangsphase für die schwächeren Kinder herangezogen werden.

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Die Entwicklung des Zahlenbegriffs

(vgl. Rahmenplan S. 150 f)

Numerische Stangen
Die zehn blau-roten, hölzernen Stangen (Numerische Stangen) sind durch Farbunterschiede in Einheiten aufgeteilt. Sie haben eine Länge von 10cm bis 100cm (die Stangen dienen später auch zum Darstellen der Längenmaße 1m und 1dm).

Im hantierenden Umgang, durch Entlangfahren und Umfassen mit den Händen, lernt das Kind die Zahlennamen und durch Ordnen der Stangen die Zahlenfolge, die durch Verlängern einer Stange um jeweils die kleinste Einheit gebildet wird. Mit Hilfe von Numerischen Stangen erwirbt das Kind den Zahlenbegriff bis zehn.

Aber auch die Addition und Subtraktion kann vorbereitet werden. Die Zehnerstange wird gelegt, darunter die Neuner- und Einerstange. Auch Tausch- und Umkehraufgaben, sowie Ergänzungen werden erkannt.

Beispiel:
10 = 1 + 9 10 = 9 +1 9 + 1 = 10 1 + 9 = 10
10 - 9 = 1 10 - 1 = 9 9 + ? = 10 1 + ? = 10

Ziffernbrettchen 1-10
In einem weiteren Schritt werden den Numerischen Stangen Ziffernbrettchen (1-10) zugeordnet; die Zahldarstellung verbindet sich mit dem Symbol.

Sandpapierziffern 0-9
Das Kennen lernen der Ziffer 0 - 9 und das Verbinden vom Namen mit dem Symbol der Zahlen wird mit Hilfe von Sandpapierziffern gelernt. Auf zehn grünen Holztäfelchen sind die Ziffern0 - 9 aus Sandpapier aufgeklebt. Durch häufiges Nachfahren der Form mit den Fingern und gleichzeitigem Nennen des Namens prägen sich Form und Schreibweise ein. Anschließend werden die Ziffern aufgeschrieben. Bei dieser Art der Erarbeitung werden verschiedene Sinne angesprochen: Sehen - Hören - Tasten - Muskelgedächtnis.

Spindelkästen
Durch das Sortieren von hölzernen Spindeln in die 10 Fächer (0 - 9) der Spindelkästen erfährt das Kind die Zahlenmenge 0 - 9 aufgelöst in Einheiten. Das Kind erkennt, dass die Zahlen auch für Mengen gelten, die aus einzelnen Gegenständen bestehen. Außerdem erfährt es den Zahlbegriff "Null". In das Fach mit der "Null" darf keine Spindel gelegt werden. Die Spindelkästen eignen sich auch hervorragend dazu, entsprechende Mengen aus anderen Gegenständen zu bilden und dem entsprechenden Fach zuzuordnen (vgl. Rahmenplan S.151 und S.155). Außerdem lassen sich diese Aufgaben auch in die ikonische Ebene übertragen und mit dem dazugehörigen Symbol (Ziffer) verbinden. Der Zahlbegriff wird so auf verschiedenen Ebenen repräsentiert.

Ziffern und Chips
Arbeitet das Kind anschließend mit den Ziffern und Chips, so kann die Lehrkraft feststellen, ob die Reihenfolge der Zahlen mit entsprechender Mengenbildung gefestigt ist Das Kind ordnet hölzerne Ziffern von eins bis zehn und legt Chips in Zweiergruppen (als Paar oder Unpaar) dazu. Dadurch erfahren die Kinder die Teilbarkeit der Zahlen (der Begriff gerade/ungerade Zahlen wird eingeführt).

Bunte Perlenstangen
Das Einprägen der Zahlenfolge und das Einüben des Zählens (vgl. Rahmenplan S. 150) wird auch mit neun verschiedenfarbigen Perlenstangen geübt. Die kürzeste Stangen hat eine, die längste 9 Perlen.

Goldene Zehnerstangen
Die Mengen 11 - 19 werden mit Hilfe von goldenen Zehnerstangen (s. Goldenes Perlenmaterial) und den farbigen Perlenstäbchen eingeprägt.

Seguin-Tafel I
In einem zweiten Abschnitt lernen die Kinder die Zahlsymbole 11 - 19 durch die Seguin-Tafel I kennen. Dies sind Holztafeln mit neun Abschnitten, jeweils mit der Aufschrift 10 und neun losen Holztäfelchen mit den Ziffern 1 - 9. Die Holztäfelchen können auf die Tafel geschoben werden, so dass die Ziffern 11 - 19 entstehen.
In einem dritten Schritt erfolgt die Zuordnung von Zahlenmenge(bunte Perlenstäbchen) und Symbol.

Seguin-Tafel II
Die Ziffer 11 - 99 und die dazugehörigen Mengen lernt das Kind mit der Seguin-Tafel II. Zuerst werden mit Hilfe von Zehnerstangen und Einerperlen die Mengen gebildet, dann die Symbole mit Hilfe der beweglichen Holzziffern der Tafeln kennen gelernt, danach werden Menge und Symbol zugeordnet.

Streifenbretter
Die Streifenbretter mit ihren vielfältigen Kontroll- und Übungstafeln bieten dem Kind die Möglichkeit, alle Grundaufgaben der Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 20 hantierend zu üben und speziell die Zehnerüber- bzw. -unterschreitung zu trainieren. Die Additions- und Subtraktionsaufgaben werden aufgeschrieben (vgl. Rahmenplan S.153).

Goldenes Perlenmaterial
Kennt das Kind die Zahlen von 1 - 10, so kann es mit dem Goldenen Perlenmaterial arbeiten. Ihm kommt eine besondere Bedeutung unter den Montessori-Materialien zu. Es besteht aus goldenen Einerperlen, Zehnerstangen, Hunderterquadraten und Tausenderwürfeln. Hier findet eine Verbindung von Algebra und Geometrie statt (Punkt, Linie, Fläche, Körper).

Dieses Material ermöglicht konkretes mathematisches Handeln mit Mengen und Zahlen bis zu 10.000. Jede Zahl lässt sich so darstellen, dass sie konkret abzählbar ist. Alle vier Grundrechenarten und alle Rechenoperationen lassen sich mit dem Material handelnd nachvollziehen (vgl. Rahmenplan S.150).

Außer der Konkretisierung mathematischer Vorgänge hat das Goldene Perlenmaterial auch die Funktion, das Dezimalsystem zu veranschaulichen. Es erlaubt dem Kind, "als Schlüssel" in die Welt der Zahlen einzudringen. Das Kind braucht nur bis neun zählen zu können, dann kann es mit Hilfe des Materials auch bis 100 weiterzählen. Es merkt, dass eine neue Einheit folgt, wenn es bis neun gezählt hat.

Auch kleine Kinder gehen schon mit großen Zahlen um. Mit Hilfe der Sinne und im hantierenden Umgang entsteht Verständnis, zudem wird die spätere Abstraktion vorbereitet.

Das Verständnis des Dezimalsystems, auf dem unser Zahlensystem aufgebaut ist, ist die wichtigste Voraussetzung zum Umgang mit Zahlen. Das Goldene Perlenmaterial ist das ideale Mittel zur Veranschaulichung, vor allem auch dadurch, weil das Dezimalsystem gleich bis zur Tausenderstelle eingeführt wird.

In der Hierarchie der Zahlen setzt sich der Aufbau ohne Bruch fort.

Nach der Arbeit mit den Goldenen Perlen werden abstraktere Materialien angeboten. Bei sich wiederholenden Übungen auf verschiedenen Abstraktionsstufen löst sich das Kind allmählich von den konkreten Hilfen, die das Material bietet.

Bunte Perlenketten
Mit den kurzen Perlenketten werden die Kinder schon mit weiterführenden mathematischen Sachverhalten konfrontiert. Die Ketten bestehen aus der Wiederholung gleicher Perlenstäbchen bis zur Quadratzahl (höchste Zahl: 10 x 10 = 100). Auf dem Teppich ausgebreitet kann das Kind sehen, wie durch Zusammenschieben ein Quadrat entsteht. Die gleiche Menge an Perlen kann also ganz verschiedene Formen annehmen (Mengeninvarianz).
Das Zuordnen von Zahlenpfeilen strukturiert die Kette und lenkt die Aufmerksamkeit auf die Endzahlen der einzelnen Stäbchen (Vorbereitung der Einmaleinsreihen, rhythmisches Zählen).

Besonders eindrücklich verdeutlicht eine Übung an diesem Material den Unterschied zwischen Kardinal- und Ordinalzahl (vgl. Rahmenplan S.150). Das Kind wird aufgefordert, 57 Perlen zu zeigen und danach die 57. Perle zu benennen.

Die Kinder lassen sich aber durch die Ketten auch zum Legen geometrischer Muster anregen, was das Symmetrieverständnis unbewusst vorentwickelt.

Das Perlenregal enthält die langen Perlenketten, die bis zur Kubikzahl reichen. Die längste Kette besteht aus 10 x 10 x 10 = 1.000 Perlen. Die Ketten können zu entsprechenden Kuben zusammengesetzt werden, die mit einer vorhandenen verglichen werden können. Die Arbeit mit diesem Material bahnt das Denken in der dritten Potenz an und vermittelt tiefgreifende Erkenntnis über Beziehungen von
Zahlen und Perlenmengen.

Kleines Multiplikationsbrett
Mit dem kleinen Multiplikationsbrett lernt das Kind, die Einmaleinsreihen aufzubauen. Es werden entsprechend der bearbeiteten Einmaleinsreibe Perlenreihen gelegt, abgezählt, und auf einem vorbereiteten Zettel notiert. Alle Zettel werden zum Schluß zum kleinen Einmaleinsbuch zusammengeheftet (vgl. Rahmenplan S.155)

Nach dem ersten Kennenlernen folgt die Multiplikation mit farbigen Perlenstäbchen, die die lineare und geometrische Darstellung der Zahl verbindet. Aus den bunten Perlenstäbchen entsteht ein Rechteck, das durch die gleiche Anzahl von goldenen Perlen ergänzt wird. Wieder werden die Perlen gezählt.

Tauschaufgaben lassen sich leicht erkennen, da bei ihnen eine flächengleiche Rechtecksfläche entsteht. Die Aufgaben werden notiert. Weitere Übungen bieten die Multiplikationstabellen mit Aufgabenserien.

Divisionsbrett
Mit dem Divisionsbrett vollzieht das Kind den Teilungsvorgang sehr anschaulich, da für den Divisor die entsprechende Anzahl von kleinen Spielfiguren aufgestellt wird.

Eine bestimmte Anzahl, z.B. 24 Perlen, wird nun an 9, 8,...- 1 Männchen verteilt und festgestellt, ob die Aufgabe aufgeht (es entsteht ein Rechteck) oder ob ein Rest bleibt. Die Aufgaben werden fortlaufend notiert (vgl. Rahmenplan S.155).

Danach kann das Kind mit der größten Einmaleinsaufgabe (9 x 9 = 81) beginnen und diese 81 Perlen an alle Teiler verteilen und dies bis zur kleinsten Aufgabe fortsetzen. Alle Aufgaben werden notiert, zusammengefasst und anschließend die Aufgaben ohne Rest farbig markiert. Diese bilden dann den Lernstoff. Auch hier ergänzen Geteilttabellen mit Aufgabenserien den Übungsstoff.

Die Anwendung in Sachaufgaben und den Bezug zur Umwelt bieten die Projektarbeit, der Sachkundeunterricht und gemeinsam geplante Unternehmungen. Auch im Gebundenen Unterricht ist dafür ein Platz vorgesehen.

Markenspiel
Das Markenspiel greift alle Grundrechenarten auf einem höheren Abstraktionsniveau nochmals auf. Bisher standen dem Kind immer die konkreten Perlenmengen zur Verfügung. Nun werden die Zahlen 1, 10, 100 und 1.000 durch gleich große Holzplättchen repräsentiert, die sich in Aufdruck und Farbe unterscheiden. Das Material deckt den Zahlenraum von 1 - 9.000 ab.

Dem Kind ist also wieder die Möglichkeit gegeben, handelnd mit dem Übungsstoff umzugehen und sein Verständnis für den dezimalen Aufbau des Zahlensystems zu vertiefen, da Reste eines vorhergehenden Stellenwertes entsprechend umgetauscht werden müssen.

Diese Form der Darstellung kommt dem späteren schriftlichen Rechenverfahren schon sehr nahe (vgl. Rahmenplan S.152ff).

Kleiner Rechenrahmen
Die nächste Abstraktionsstufe, in der die Stellenwerte nur noch durch lose Perlen auf Drähten (wieder in den entsprechenden Farben) dargestellt sind, bietet der kleine Rechenrahmen (Zahlenraum 1 - 9.000). Mit diesem Gerät übt das Kind weiterhin das Darstellen und Lesen großer Zahlen und das Umtauschen der verschiedenen Stellenwerte. Eine Erweiterung tritt durch das Verständnis ein, dass 12 Zehner = 120 sind und diese Zahl auf dem Rechenrahmen dargestellt wird.

Weitere Übungen mit dem kleinen Rechenrahmen sind:
Addition und Subtraktion ohne und mit Umtauschen, wobei die Aufmerksamkeit auf die gleichen Stellenwerte gelenkt wird.

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Geometrie

Wie schon oben erwähnt, verbindet das Material die Algebra und die Geometrie sehr stark miteinander. Für die geometrischen Sachverhalte stehen jedoch auch noch weitere Materialien zur Verfügung.

Geometrische Körper
Grundlagen werden mit Dimensionsmaterial im Kinderhaus gelegt. Die zehn Geometrischen Körper vermitteln dem Kind die geometrischen Körperformen und helfen ihm, diese zu unterscheiden und in der Umgebung wieder zu entdecken. Die Kinder lernen die Namen der Körper. Darüber werden auch die Eigenschaften "rollen" und "kippen" deutlich. In einem Mengendiagramm kann das bildlich festgehalten werden (Schnittmenge: rollt und kippt).

Das Ertasten und Benennen der einzelnen Körper mit verbundenen Augen fördert das Vorstellungsvermögen und schärft die Sinne. Zur sprachlichen Arbeit können die Körper auch herangezogen werden, indem sie ein Kind beschreiben, die anderen erraten, um welchen Körper es sich handelt. Mit Hilfe eines Zusatzmaterials geraten die Anzahl der Kanten, Flächen und Ecken in den Vordergrund, auch die Netze können erstellt werden.

Geometrische Kommode
In der Geometrischen Kommode befinden sich eine Fülle geometrischer Flächen, die das Kind auch in seiner Umgebung vorfindet. Die Flächen können aus dem Rahmen herausgenommen und frei bewegt werden. Beim Zurücksetzen schult das Kind sein Augenmaß und erfasst die Form immer genauer. Mit dem Kartensatz steigert sich die Abstraktionsleistung des Kindes. Die Zuordnung der ausgefüllten Fläche, über eine breite Umrisslinie zu einer dünnen Umrisslinie, fordert das Kind immer stärker heraus.

Konstruktive Dreiecke
Doch lassen sich mit den Figuren auch Unterschiedsreihen legen, was jedoch schon viel von dem Kind abverlangt. Mit den Konstruktiven und den Blauen Dreiecken schulen die Kinder ihr Vorstellungsvermögen und beschäftigen sich vielfältig mit Flächen. Aus zwei Dreiecken wird ein Rechteck, ein Quadrat; durch Klappen (Spiegeln) erhalte ich deckungsgleiche Figuren oder ein Dreieck wird durch zwei Kleinere ersetzt (vgl. Rahmenplan S.167; auch Vorbereitung zum Umgang mit Flächen).

Metallene Quadrate
Die aufgeteilten Quadrate führen schon ins Bruchrechnen ein. Es handelt sich dabei um 9 Quadrate aus Metall in einem Rahmen. Eins der Quadrate ist ganz, die anderen vertikal oder diagonal in 2, 4, 8 bzw. 16 gleiche Teile aufgeteilt. Jedes Teil kann an einem Knöpfchen herausgenommen werden.

Auch hiermit legen die Kinder am Anfang schöne Muster und Ornamente, die sie durch Umfahren der einzelnen Teile auf Papier übertragen und farbig gestalten (Ästhetische Erziehung, vgl. Rahmenplan S.164 und S.170).

Übungen zur Lagebeziehungen und Orientierung im Raum (vgl. Rahmenplan S.164f) spielen im gesamten Unterricht nach Montessori eine wichtige Rolle. In den 3 Stufen der Lektionen müssen Kinder in der zweiten Stufe immer Gegenstände auf Anweisung hin forttragen und nach einiger Zeit wieder zurückbringen (z.B. stelle den Quader unter den Tisch, trage die Kugel ins Büro, etc.).

Es zeigt sich, dass im mathematischen Bereich die Möglichkeiten des Materials weit über die Forderungen des Rahmenplans für die Grundschule hinausgehen. Die schriftlichen Formen, wie Tabellen, Pfeilbilder, Sachaufgaben usw. müssen von der Lehrkraft im Gebundenen Unterricht und in Arbeitsheften eingeführt werden, lassen sich aber sehr gut mit der Arbeit am Material verbinden.

Zum Trainieren und Üben stehen in den Montessori-Klassen die üblichen Materialien bereit (Heinevetter, LÜK etc.). Alle Maßeinheiten werden im Rahmen der Kosmischen Erziehung (Sachunterricht) eingeführt, im hantierenden Umgang gelernt und durch zusätzliches Material der Lehrkraft geübt.

Das Pädagogische Konzept
Organisatorischer Rahmen

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